Flesch Salamon mosoni orvos és
Klein Johanna győri bútorkereskedő lányának fia,
Flesch Ella operaénekesnő nagybátyja. Hat éves korában
kezdett el hegedülni, első zeneoktatói
Kern Károly,
a helyi tűzoltó egyesület karnagya és
Schöll Mihály mosoni iskolamester voltak, aki fölismerték a fiú
tehetségét. Flesch Károly elemi iskolai tanulmányai után a
magyaróvári piarista gimnázium tanulója lett. Első nyilvános
bemutatkozása 1883-ban a Mosoni Társaskör hagyományos szilveszteri bálján történt.
1886-1889-ben
Bécsben J. M. Grünnél tanult a Levi Konzervatóriumban,
1890-től 1894-ig a
párizsi konzervatóriumban
M. P. J. Marsick és
Sauzay növendéke volt.
1895-ben
Mosonban és
Magyaróváron nagysikerű
koncertet adott. 1897-1902 között a
bukaresti
konzervatóriumban tanított és a királynő vonósnégyesének prímása volt, ezt követően
1908-ig az
amszterdami konzervatóriumban lett tanár.
1909-től 1934-ig
Berlinben és
Baden-Badenben élt, 1921-től a
berlini
zeneakadémián tanár. 1914-1928 között
Philadelphiában a Curtis Institute-ban, 1928-ban
Berlinben, 1929-ben
Badenben tartott
mesterkurzusokat. A nemzetiszocialisták hatalomra jutása után 1934-ben elhagyta
Németországot,
Londonban és
Amszterdamban, 1943-tól a svájci
Luzernben
élt. 1942-ben egy rövid ideig
Budapesten tartózkodott,
amikor
Weiner Leóval Bach két hegedűversenyének
kiadását készítették elő. Ekkor adott nagy sikerű hangversenyt a Városi Színházban,
a második koncertet azonban a hatóságok érdeklődése miatt lemondta. Ez volt utolsó
magyarországi látogatása. Flesch a XX. század nemes ízlésű, legnagyobb kultúrájú és
technikájú hegedűművészei közé tartozott. Tudatossága, biztonsága szinte egyedülálló
volt. Művészetére a legnagyobb hatással
Joachim József köpcsényi születésű világhírű hegedűművész és a
Lébényszentmiklóson született
Nikisch Artúr világhírű karmester volt.
Die Kunst des Violinspiels című
munkája a modern hegedűtanítás alapvető műve. Iskolájában négy
évtized alatt a hegedűsök hosszú sora fordult meg a világ minden tájáról. Néhány
kiemelkedő tanítványa:
Grazyna Bacewicz, Bronislaw Gimpel, Josef Hassid, Ida Haendel, David Melsa, Alma Moodie, Boris Schwarz, Thomán Mária, Varga Tibor stb. Flesch tiszteletére
Mosonmagyaróváron 1985 óta kétévente nemzetközi
hegedűversenyt rendeznek fiatal tehetségek részére. 1994-ben, halálának 50.
évfordulóján a szülőváros hazahozatta hamvait és a
mosoni
izraelita temetőben helyezte el. Emlékét a szülői házon 1983 óta
Rieger Tibor domborműve, a Flesch Károly Kulturális
Központ és egy lakótelep neve őrzi. 2008-ban emléktáblát helyeztek el a Flesch
Károly Kulturális Központ épületében. 2021. november 15-én nyílt meg a róla elnevezett kulturális központban a hegedűművész életét és munkásságát röviden,
de méltó módon bemutató emlékszoba.